「紙と鉛筆があれば、
いつでも、どこでも、数学を計算できる」は、
正確ではありません。
もう少しだけ正確にすれば、
「頭の中にイメージを映し出すことができれば、
いつでも、どこでも、数学を計算できる」です。
紙と鉛筆は、
メモとしての一時的な記憶装置です。
頭の中に映し出せるイメージの量に
限りがあるので、
計算を進める中で、
答えそのものや、
その一部分を忘れないように
紙と鉛筆に書いておくだけの
一時的な記憶装置です。
簡単なたし算 ８＋７＝ を、
８ の次の ９ から、
９、１０、１１、１２、１３、１４、１５ と、
＋７ の ７ 回数えて、
答え １５ を出して、
８＋７＝１５ と書くときから、
計算自体は、
頭の中に映し出したイメージで行っています。
紙と鉛筆は、
問題 ８＋７＝ が書いてあることと、
答え １５ を書くときに必要です。
８ の次の ９ から、
９、１０、１１、１２、１３、１４、１５ と、
＋７ の ７ 回数えて、
答え １５ を出すまでの計算自体で、
紙と鉛筆を使わないのです。
簡単なたし算 ８＋７＝ を、
数えて答えを出す計算で、
１問だけ計算するのではなくて、
８＋７＝、５＋９＝、６＋５＝、･･･と続いて、
５０問、１００問と計算すことが多いのです。
８＋７＝ の答え １５ を出した後、
次のたし算 ５＋９＝ の答えを出しますから、
次のたし算を計算するとき、
８＋７＝ の答え １５ を忘れてしまいます。
だから、
一時的な記憶装置の紙と鉛筆を使って、
８＋７＝１５ と書いてから、
次のたし算 ５＋９＝ を計算します。
紙と鉛筆で、
計算そのものをしていません。
のような方程式になっても、
同じようになっています。
紙と鉛筆は、
忘れないようにするための
一時的な記憶装置です。
この方程式を解くとき、
最初に、頭の中に、
のイメージを映し出します。
方程式 の
ｘ と、ｙ と、ｚ に付いている数（係数）を、
方程式と同じような配置に並べたイメージです。
そして、
頭の中に映し出したイメージ
を見て、
ｙ に付いている数（係数）が、
上から順に、２ 、１ 、－１ ですから、
ｘ や、ｚ よりも少ない計算で、
ｙ に付いている数（係数）を、０ にできると、
気付きます。
係数を ０ にすれば、
当然、その未知数 ｙ が消えますから、
「 ｙ を消す」と決めます。
さらに、
イメージ から、
２番目の式と、３番目の式を足せば、
１＋（－１）＝ ですから、
ｙ が消えることと、
１番目の式と、３番目の式を ２倍して足せば、
２＋２×（－１）＝ ですから、
やはり、ｙ が消えることまで、
決めることができます。
このような計算をするとき、
紙と鉛筆を使っていません。
頭の中に映し出したイメージ
を、
頭の中で見て、
アレコレと考えて、
計算しているだけです。
この後、
「 ｙ を消す」ために、
２番目の式 ２ｘ＋ｙ－４ｚ＝８ と、
３番目の式 ４ｘ－ｙ＋３ｚ＝２６ を足すことも、
頭の中に映し出したイメージで行いますが、
その結果の式 ６ｘ－ｚ＝３４ は、
忘れてしまいますから、
紙と鉛筆の一時的な記憶装置を利用して、
書きます。
このようにして、
頭の中に映し出したイメージで計算するのが、
算数や数学を計算するときに、
実際に行っていることです。
紙と鉛筆は、
忘れてしまうことを防ぐための
一時的な記憶装置です。
（基本 －８２７）、（＋－
－４４２）、（分数
－３５６）