2021-01-09

それ以前と、それ以後で、子どもが大きく違ってしまう固有な計算があります。「この子、化けた」と感じます。

算数や数学の計算を学ぶ子どもは、

いくつかの固有な計算で。

どの子も、

急に大きく伸びることがあります。

「大きく伸びる」と言うよりも、

「化ける」の言い方の方が、

分かりやすい表現でしょう。

固有な計算の

前と後とで、

子どもは、化けます。

計算の発達段階の中で、

最初に感じる「化ける」は、

たし算の感覚を持ったときです。

９＋５＝のたし算を、

９の次の１０から、

１０、１１、１２、１３、１４と指で数えて、

答え１４を出す子が、

指で数える前に、

答え１４が、

心に浮かぶようになったときです。

もちろん少しずつ

答えが浮かぶたし算の問題が増えて、

そしてやがて、あるとき、

すべてのたし算の問題の答えが

心に浮かぶようになったとき、

「化けた」と感じさせます。

答えが浮かぶようになる前と、

浮かぶようになった後とで、

「同じ子だろうか？」と思わせるような

大きな違いを感じさせます。

言葉にするのは難しいことですが、

「化けた」となったときです。

もう一つ例を出します。

「試行錯誤で計算の仕方を決める」ことでも、

「化けた」と感じさせる大きな変化が起こります。

「試行錯誤で計算の仕方を決める」ことは、

「例」を見て、

まねして問題を計算させるようなときです。

例えば、

例： ${\Large\frac{９}{４}}$ ＝２ ${\Large\frac{１}{４}}$ を見るだけで、

問題： ${\Large\frac{１３}{４}}$ ＝を計算します。

例の ${\Large\frac{９}{４}}$ ＝２ ${\Large\frac{１}{４}}$ に、

説明が書かれていません。

ただ、

式 ${\Large\frac{９}{４}}$ ＝２ ${\Large\frac{１}{４}}$ が書いてあるだけの例です。

これだけの情報から、

問題： ${\Large\frac{１３}{４}}$ ＝を計算しますから、

子どもは、

アレコレと頭の中で、

さまざまな計算を試行錯誤します。

その後、

${\Large\frac{１３}{４}}$ ＝３ ${\Large\frac{１}{４}}$ と計算します。

このように計算したのを見て、

こちらは、この子に、

「どうやったの？」と聞きます。

子どもを、

少しリードして、

${\Large\frac{１３}{４}}$ ＝の１３を、４で割って、

答え３を横に、

あまり１を上に書いたことを、

言葉にさせます。

このような体験をした子は、

それ以前の子と大きく違っています。

「化けた」と感じるときです。

（基本 ${\normalsize {α}}$ －３３０）、（＋－ ${\normalsize {α}}$ －２１１）、（分数 ${\normalsize {α}}$ －１１１）

2021-01-09

２０２１年０１月０２日(土)～２０２１年０１月０８日（金）のダイジェスト。

２１年０１月０２日（土）

子どもの計算のスピードを速めるために、

「近未来」から、

「今」を見るようなリードをします。

子どもは、

常に自分の「近未来」を見ています。

向きは、

「今」の

小４の授業に付いていけない自分が、

「近未来」を見ていますから、

「付いていけない自分」から離れられないのです。

「今」から、

「近未来」を見ているこの子を、

半ば強制的に、

「今」から引き離して、

「近未来」に連れていきます。

２１年０１月０３日（日）

子どもの計算の仕方をポジティブに見れば、

「今、使える計算力」を見ます。

そして、

ポジティブに教えれば、

「今、使える計算力だけを使って、

計算する方法」を教えます。

２１年０１月０４日（月）

２乗して、

－１になる新しい数「 ${\normalsize {i}}$ 」を、

約束事：「 ${\normalsize { i^{２}＝-１}}$ 」として説明して、

この約束を手が掛かりにして、

新しい数の計算に慣れることを

子どもに委ねます。

これが、

数学の計算の仕方の学び方です。

２１年０１月０５日（火）

算数や数学の計算の仕方を教えるとき、

計算の力だけではなくて、

考える力も、

学ぶ力も育てることができます。

さて、

８＋１＝の８を見て、

「はち」と読むように、

１を見て、「く」と数えるように、

＝の右を見て、９を書くように、

子どもの内面のリーダーがリードして、

子どもは計算します。

自分をリードするリーダーを育てるプロセスで、

考える力を育てて、

８＋１＝のようなたし算を、

計算する力と、学ぶ力も育てます。

２１年０１月０６日（水）

たし算の答えを浮かべる感覚や、

考えることは、

そのもの自体を教えることができないようです。

子どもが、

自力でつかみ取るものです。

こちらの計算の実況中継を見せる教え方は、

ここを手助けできます。

２１年０１月０７日（木）

〇＋８＝を指で数える計算は、

計算のスピードが一定の速さを超えると、

答えが残り始めます。

〇＋６＝や、

〇＋７＝と違って、

〇＋８＝の答えは残りやすいようです。

２１年０１月０８日（金）

分数の計算は、

子どもが計算した後、

「どうやったの？」と聞いて、

自分が行った計算を言葉で説明させます。

例えば、

${\Large\frac{１６}{５}}$ ＝３ ${\Large\frac{１}{５}}$ の計算でしたら、

１６を、５で割ったことです。

あるいは、

２ ${\Large\frac{１}{５}}$ ＝ ${\Large\frac{１１}{５}}$ の計算でしたら、

２と５を掛けて、

その答えに、１を足したことです。

自分の計算を、

子どもに教えさせると、

分数の計算の理解が深まります。

2021-01-08

分数の計算は、子どもが計算した後、「どうやったの？」と聞いて、自分が行った計算を言葉で説明させます。こうすると、分数の計算の理解が深まります。

仮分数 ${\Large\frac{１４}{５}}$ を、

帯分数２ ${\Large\frac{４}{５}}$ に変換します。

言葉で説明するのでしたら、

仮分数 ${\Large\frac{１４}{５}}$ の１４を示して、

「上の数１４を」、

５を示して、

「下の数５で割ります」、

「１４÷５＝２・・・４です」と、

計算を教えます。

そして、

「答え２を横に書いて、

あまり４を上の数として書いて、

下の数５をそのまま書きます」と、

書き方を教えます。

こちらの計算の実況中継を見せながら、

子どもを参加させる教え方もあります。

仮分数 ${\Large\frac{１４}{５}}$ の１４と、５を示して、

「これ、割る、これ」、

「２、あまり、４」と計算の実況中継を見せてから、

「わ（＝）」で、

${\Large\frac{１４}{５}}$ ＝と書かせてしまい、

＝の右を示して、

「ここ、２」、

「棒」、

「上、あまりの４」、

「下、５のまま」とリードすれば、

${\Large\frac{１４}{５}}$ ＝２ ${\Large\frac{４}{５}}$ と、子どもは書きます。

言葉で説明して教えるか、

実況中継を見せて教えるかしてから、

${\Large\frac{１６}{５}}$ のような問題を、

帯分数に変換させます。

子どもが、

${\Large\frac{１６}{５}}$ ＝３ ${\Large\frac{１}{５}}$ と計算したら、

「どうやったの？」と聞きます。

計算の仕方を、

子どもに説明させます。

子どもを、先生役にして、

こちらが、教えてもらう生徒役をします。

こうして、

子どもを先生役にして、

こちらに教えさせます。

教えることで、

学びが深くなるからです。

子どもの説明の中に、

${\Large\frac{１６}{５}}$ ＝の

１６と５の２つの数を、

わり算で計算していることが、

含まれていることを必ず押さえます。

そして、

仮分数を帯分数に変換する計算に慣れた後で、

この逆の計算、

２ ${\Large\frac{４}{５}}$ ＝ ${\Large\frac{１４}{５}}$ を教えます。

ここでは、

詳細を省略しますが、

言葉で説明する教え方があります。

こちらの計算の実況中継を

見せる教え方もあります。

どちらかの方法で教えた後、

２ ${\Large\frac{１}{５}}$ のような問題を計算させます。

子どもが、

２ ${\Large\frac{１}{５}}$ ＝ ${\Large\frac{１１}{５}}$ と計算したら、

「どうやったの？」と聞きます。

計算を２回ですから、

説明が難しいようです。

だから、

説明の仕方を手助けします。

２ ${\Large\frac{１}{５}}$ の２と、１と、５を順に示して、

「この２と、１と、５をどうしたの？」と、

子どもを手助けします。

口ごもっているようでしたら、

「足したの？」、

「引いたの？」、

「掛けたの？」、

「割ったの？」と説明の仕方を手助けします。

こうすると子どもは、

２ ${\Large\frac{１}{５}}$ ＝ ${\Large\frac{１１}{５}}$ と、

自分が計算していますから、

自分の計算を言葉にし始めます。

そして、

２と、５を掛けたことと、

掛けた答え１０に、

１を足したことを、

子どもは教えてくれます。

このように、

自分がした計算２ ${\Large\frac{１}{５}}$ ＝ ${\Large\frac{１１}{５}}$ を、

言葉にすることまでさせると、

計算の理解が深まります。

（基本 ${\normalsize {α}}$ －３２９）、（分数 ${\normalsize {α}}$ －１１０）

2021-01-07

〇＋８＝を指で数える計算は、計算のスピードが一定の速さを超えると、答えが残り始めます。

「２＋８＝を、

８＋２＝と教えてもいいのでしょうか？」と、

たし算を練習している幼児の母親から、

聞かれることが多くあります。

１＋８＝の答え９は、

子どもが、１～２回計算すると、

残るようです。

１＋８＝を見たら、

指で数えなくても、

１＋８＝９と書きます。

答え９が、

子どもに残っているからです。

でも、

２＋８＝の答え１０は、

１～２回計算しても残らないようです。

だから、

幼児のたし算を見ている母親は、

「この２＋８＝ね、

８＋２＝と同じだから、

９、１０と数えれば、

答え１０が出るよ」と、

教えてしまいたいようです。

このように教えたくなる気持ちは、

とてもよく分かります。

２＋８＝の２を、「に」と読んで、

指を折りながら数えて、

３、４、５、６、７、８、９、１０です。

大変そうに見えてしまいます。

ただ、

重要なことを見落としています。

計算には、

スピードがあるという事実です。

実は、

２＋８＝の答え１０が、

１～２回計算しても残らないのは、

計算のスピードが遅いからです。

今よりも速い、

一定のスピードになれば、

２＋８＝の答え１０も、

３＋８＝の答え１１も、

４＋８＝の答え１２も、

５＋８＝の答え１３も、

６＋８＝の答え１４も、

１～２回計算したら残ります。

とても不思議な経験則ですが、

〇＋８＝の答えは、

残りやすいのです。

〇＋７＝や、

〇＋６＝では、

答えが残るようなことが少ないのですが、

〇＋８＝では、

不思議と答えが残ります。

ですから、

子どもの計算スピードよりも、

もっと速い計算スピードの計算を、

こちらの計算の実況中継で見せます。

１回の手伝いで、

５～６問の速いスピードの実況中継を見せます。

こうすれば、

子どもは、刺激を受けて、

今よりも速いスピードで、

指を折りながら数えるようになります。

３回、

５回と、

実況中継を見せる手伝いを繰り返して、

計算のスピードが、

一定レベルを超えるようにリードします。

そして、

〇＋８＝の計算のスピードが、

一定の速さを、楽に超えるようになると、

答えが残り始めます。

（基本 ${\normalsize {α}}$ －３２８）、（＋－ ${\normalsize {α}}$ －２１０）

2021-01-06

たし算の答えを浮かべる感覚や、考えることは、そのもの自体を教えることができないようです。子どもが自力でつかみ取るものです。こちらの計算の実況中継を見せる教え方は、ここを手助けできます。

５＋３＝の計算の仕方は、

言葉で説明して理解させることもできれば、

こちらの計算の実況中継を見せることもできます。

５＋３＝の＋を示してから、

「このたし算の記号の左を読みます」、

「読むと、ご、です」、

「そして、右の数だけ、数えます」、

「さん、ですから、３回数えます」、

「ろく、しち、はち、です」、

「最後の、はちが、たし算の答えです」のように、

言葉で説明して教えることができます。

５＋３＝の５を示して、

「ご」と声に出して読み、

３を示して、

「ろく、しち、はち」と声に出して数え、

＝の右を示して、

「はち（８）」と言うような

こちらの計算の実況中継を見せて、

教えることもできます。

言葉で「教示」しても、

実況中継を見せる「手伝い」でも、

５＋３＝のようなたし算の

計算の仕方を子どもに、

つかませることができます。

子どもに、

教えることができる内容だからです。

実は、

算数や数学の計算には、

教えることができないこともあります。

その代表が、

「感覚」です。

７＋８＝を見たら、

答え１５が心に浮かぶ感覚は、

たし算の感覚です。

１５÷３＝を見たら、

答え５が心に浮かぶ感覚は、

わり算の感覚です。

これらの感覚は、

「さん足すはちは？」と口頭で聴かれても、

その答え１１を、

心に浮かべることができます。

同じように、

「にじゅうはち割るしちは？」と、

口頭で問われても、

その答え４を、

心に浮かべることができます。

このような「感覚」自体を、

教えることはできないようです。

「ご足すくは？」と聞かれたら、

すぐに、心に、

答え１４が浮かぶような感覚を、

たし算の感覚といいます・・と、

子どもに説明することはできます。

５＋９＝１４の答えを出す感覚を、

すでに持っている子でしたら、

「なるほど」と理解できます。

５を、「ご」と読み、

６、７、８、９、１０、１１、１２、１３、１４と、

指で数えて計算する子でしたら、

「どういうことですか？」となります。

「感覚」自体を教えることができないからです。

教えることができるのは、

「感覚」を使わない、

計算の仕方です。

５＋３＝の計算の仕方を、

言葉で説明しても、

こちらの計算を見せても、

教えることができますが、

答えを浮かべる「感覚」を使わない計算です。

そして、

面白いことに、

「感覚」を使わない

５＋３＝の計算の仕方は、

たし算の感覚を子どもがつかむための

練習の仕方になっています。

さて、

「感覚」を使わない

５＋３＝の計算の仕方の教え方は、

実況中継を見せる教え方が、

いくつかの点で、有利です。

たし算の感覚そのもの自体は、

教えようがないのです。

これは確かです。

そして、

「感覚」を使わないたし算を、

繰り返し練習することで、

たし算の感覚を、

子どもが自力でつかみ取るものです。

これも確かです。

そこで、

こちらの計算の実況中継を見せるだけで、

計算の仕方を説明しない教え方をすると、

計算の仕方から、

子どもがつかまなければなりません。

実況中継を見るだけで、

計算の仕方をつかむまでの子どもは、

頭の中にたくさんの「？」を持って、

こちらの実況中継を見ています。

たくさんの「？」が、

その子の理解の仕方の持ち味で、

すべて解決されたとき、

「そうか、分かった」と、

計算の仕方をつかみます。

「感覚」を使わないたし算の計算の仕方から、

こちらを頼らずに、

自分で見つけ出しています。

この「自分で何とかしようとする」姿勢が、

「感覚」を使わないたし算を、

繰り返し練習して、

たし算の感覚をつかむ子を支えます。

しかも、

たし算の計算の仕方をつかむプロセスで、

たくさんの「？」を、

自力で解決していますから、

「考える練習」もしています。

こうして、

言葉で教えることが難しい、

「考えること」自体を、

体験させることができます。

（基本 ${\normalsize {α}}$ －３２７）、（＋－ ${\normalsize {α}}$ －２０９）

2021-01-05

算数や数学の計算の仕方を教えるとき、計算の力だけではなくて、考える力も、学ぶ力も育てることができます。

３＋１＝の計算の仕方を、

こちらの計算の実況を見せて教えます。

３＋１＝の３を示して、

「さん」と声に出して読み、

１を示して、

「し」と声に出して数え、

＝の右を示して、

「し」と言います。

見て、聞いていた子は、

＝の右を示されて、

「し」と言われたから、

３＋１＝４と書きます。

４を書くことで、

自分も計算に参加したとき、

子どもの頭の中に、

自動的に「？」が浮かびます。

言葉にならない疑問です。

あえて言葉にすれば、

「どのように計算しているのだろうか？」です。

３＋１＝の計算の仕方を、

見て、聞いているのは、

幼児です。

言葉にならない疑問、

「？」のままで、

こちらが繰り返し見せる計算の仕方を、

見て聞いています。

こちらは、

実況中継を続けます。

次の計算６＋１＝の６を示して、

「ろく」と声に出して読み、

１を示して、

「しち」と声に出して数え、

＝の右を示して、

「しち」です。

子どもは、

６＋１＝７と書いて、

「？」が、心の中で強くなります。

次の問題４＋１＝の４を示して、

「し」と声に出して読み、

１を示して、

「ご」と声に出して数え、

＝の右を示して、

「ご」です。

子どもは、

４＋１＝５と書いて、

「？」が、さらに強くなります。

子どもの「？」が強くなりますが、

こちらが見せている内容は、

どの一つも、

自分のできることだけです。

４＋１＝の４を、「し」と読むことも、

「し、ご」と数えることも、

「ご」を、５と書くことも、

自分のできることです。

子どもに、できないことは、

こちらが見せる実況中継に、

一つもないのです。

それなのに、

「？」なのです。

こちらは、

こうなることを意図して、

こうしています。

３＋１＝のようなたし算の計算の仕方と、

こちらの実況中継を見ながら、

計算の仕方をアレコレ考えることと、

自分ができることを組み合わせて、

計算する学び方を、

子どもに教えようとしています。

このように、

とても欲張っています。

計算の力と、

考える力と、

学ぶ力を育てようとしています。

自分ができることを組み合わせて、

計算する学び方の学ぶ力は、

子ども自身をリードする

子どもの内面のリーダーを育てることです。

子どもの内面の

子ども自身をリードするリーダーが、

８＋１＝の８を見て、

「はち」と読むようにリードするから、

子どもはそうします。

次に、

１を見て、

「く」と数えるようにリードするから、

子どもは、「はち」の次の「く」を数えます。

そして、

＝の右を見て、

９を書くようにリードするから、

子どもは、

８＋１＝９と書きます。

このように、

自分をリードするリーダーを育てることが、

学ぶ力です。

リーダーが育つと、

子どもは、自力で計算できます。

さて、

この子が、

計算の力と、

考える力と、

学ぶ力を育てながら、

算数と数学の計算を学んでいくと、

やがて、

${\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{１}５ｘ+２ｙ=１６\\３ｘ-２ｙ=０\end{array}\right.\end{eqnarray}}$ のような連立方程式に進みます。

ここまで進むと、

この連立方程式を解く前に、

「何を消すのか？」と、

「どのようにするのか？」の疑問文で、

考えるように育っています。

この疑問文にリードされて、

ｘと、

ｙに付いている４つの数（係数）を見比べて、

ｙを消すことと、

２つの式を、足すことを、

先に決めるようになっています。

考える力も、

学ぶ力も、

かなりのレベルまで育っています。

（基本 ${\normalsize {α}}$ －３２６）、（＋－ ${\normalsize {α}}$ －２０８）、（分数 ${\normalsize {α}}$ －１０９）

2021-01-04

２乗して、－１になる新しい数を、約束事として説明して、この約束を手が掛かりにして、新しい数の計算に慣れることを生徒に委ねます。これが、数学の計算の仕方の学び方です。

「２乗して、－１になる数を、 ${\normalsize {i}}$ で表します」、

「 ${\normalsize { i^{２}＝-１}}$ と書けます」、

「そして、 ${\normalsize {i}}$ ＝ $\sqrt{-１\:\:}$ と、約束します」。

高校の数学の先生は、

虚数「 ${\normalsize {i}}$ 」を、

このように説明するのが普通です。

このように説明されると、

普通は、

「？」です。

そして、

「もっと、説明してほしい」となります。

でも、

高校の先生の説明は、

冷静に理解しようとすれば、

すべて理解できる内容です。

例えば、

「２乗して、－１になる数を、 ${\normalsize {i}}$ で表します」は、

２乗したら、

プラスの数になるのですから、

マイナスの数：－１にはなりません。

今までに知っている数は、

確かにそうなっています。

ここで習うのは、

今までの数とは違う

新しい数です。

２乗して、

マイナスの数：－１になる新しい数です。

その新しい数を、

${\normalsize {i}}$ と表すと説明されます。

落ち着いて考えると、

このように理解できます。

他の説明も、

落ち着いて考えれば、

同じように理解できます。

だから、

これ以上の説明をしないのが普通です。

実は、

これが親切なのです。

このような約束を手掛かりにして、

計算していくのが数学です。

子どもが、

このような進め方に慣れるしかないのです。

そして、

慣れるには、

慣れること自体を子どもに委ねるしかないのです。

言葉で、アレコレと説明しても、

子どもが、

虚数 ${\normalsize {i}}$ の計算に慣れる助けにならないのです。

むしろ、

説明が多すぎると、

計算に慣れることを邪魔してしまいます。

だから、

約束を手掛かりにして、

計算させます。

例えば、

簡単な２次方程式 ${ｘ^{２}+１=０}$ を、

解くことができます。

${ｘ^{２}}$ ＝－１、

${ｘ^{２}}$ ＝ ${\normalsize { i^{２}}}$ 、

ｘ＝ ${\normalsize {±i}}$ と解くことができます。

あるいは、

${\normalsize { i^{４}}}$ ＝の計算の仕方を、

子どもが質問したら、

${\normalsize { i^{２}}}$ ・ ${\normalsize { i^{２}}}$ ＝（－１）×（－１）＝１と教えてもらえます。

このような計算を通して、

虚数 ${\normalsize {i}}$ の計算に慣れていきます。

（基本 ${\normalsize {α}}$ －３２５）、（分数 ${\normalsize {α}}$ －１０８）