小数の混ざった分数計算のレベルでは、出たとこ勝負の計算をする子が多いのですから、思い出せればできます。思い出せなければ、ジッと止まります。

０．２×＝ のような計算で、

どのように計算するのかを

計算する前に考える子がいます。

例えば、

小数 ０．２ を分数に変えて、

分数のかけ算は、

途中約分をしてから、掛けて、

答えが仮分数であれば、

帯分数に変える・・のように、

計算をデザインできる子です。

それから、

自分が決めたデザインのように計算します。

まず、

小数 ０．２ を、

分数 にして、

２ で約分すれば、 です。

次に、

分数のかけ算 ×＝ は、

途中約分できますから、

×＝ と約分してから、

分子同士を、１×１＝１ と、

分母同士を、１×６＝６ と掛けて、

×＝ と計算します。

通して書くと、

０．２×＝×＝×＝ です。

０．２×＝ の計算をする前に、

計算の仕方を、

事前にデザインできなくても、

小数を分数に変えることができて、

途中約分できれば、

やはり、

０．２×＝×＝×＝ と、

計算することができます。

つまり、

事前に計算の仕方をデザインできなくても、

必要な計算の力が残っていれば、

０．２×＝×＝×＝ と、

計算できます。

でも、

計算する前に、

どのような計算の力が必要なのかを、

問題 ０．２×＝ を見て、

考えていませんから、

出たとこ勝負の計算になります。

問題 ０．２×＝ を見て、

計算する前に、

計算の仕方をデザインできる子は、

ごく限られた少数の子どもだけですから、

ほとんどの子は、

出たとこ勝負の計算で、

鉛筆を動かしていきます。

すると、

問題 ０．２５×３＝ で、

小数 ０．２５ を、

分数 ＝ に変えて、

×３＝ と、できますが、

帯分数 ３ を、

仮分数に変えることができないために、

ここで計算が止まります。

出たとこ勝負の計算で、

鉛筆を動かして計算し始めて、

計算の仕方を思い出せない計算で、

止まってしまいます。

こうなると、

普通は、

ジッとして、

止まったままになって、

教えてくれる誰かが、

手を差し伸べてくれるのを待ちます。

「聞けばいいのに」や、

「聞くことくらいできるだろう」と思うのですが、

不思議と、

自分から、聞かないで、

止まったままになるのが普通です。

「どうしたの？」と声を掛けられたら、

この子は、

救いの手を待っていたのですから、

「分からない」となります。

と、

このような流れになりますから、

ジッとして、

止まっていたら、

こちらは、

チラッと一瞬間、

０．２５×３＝×３＝ を見て、

帯分数 ３ を、

仮分数に変えることができなくなっていると、

判断できます。

そうしたら、

すぐに、続きの計算をリードします。

×３＝ の続きを、

×３＝× まで書かせて、

「棒、下、５」で、

×３＝× と準備して、

帯分数 ３ の ３ と ５ を示して、

「３×５＝１５」、

分子 １ を示して、

「１ 足して、１６」、

「ここ」で、

×３＝× とリードします。

この続きは、

子どもに任せることもできそうですが、

ジッとして、

止まっていた子ですから、

計算の勢いがまだありませんので、

最後まで、

計算をリードしてしまいます。

× の

左下の ４ と、右上の １６ を示して、

「４ で約分」、

左下の ４ に線を引いて消させてから、

「１」、

右上の １６ に線を引いて消させてから、

「４」です。

これで、

×＝ のようにして、

分子同士と、

分母同士を掛けて、

×＝ とリードします。

帯分数 ３ を、

仮分数に変えることができなくて、

ジッとして、

止まっている子に、

いきなり、

計算の仕方だけをリードするのですから、

子どもはすぐに、

真剣になって、

こちらが見せる計算の仕方を吸収します。

大人に同じようなことをすると、

「えっ、ちょっと待って・・」となりますが、

子どもは、

すぐに計算モードに入れ替わって、

計算の仕方を吸収します。

子どもの

自らの急変から、

帯分数を仮分数に変える計算に、

とても強い印象が残ることを期待します。

帯分数 ３ を、

仮分数 に変える計算の仕方に、

「そうだった！」のような、

強い感情が付けば、

思い出しやすくなります。

（基本 －４７３）、（分数 －１９４）

子どもがした計算に、「何が、消えた？」と聞くことで、子どもに、自分がした計算を説明させます。このようなリードで、子どもに、教えると学ぶことを体験させます。

３＋＝３ や、

１＋＝１ と計算できる子です。

計算らしい計算ではありませんが、

計算問題 ３＋＝ に、

その答え ３ ですから、

３＋＝３ は、計算です。

この子に、

「何が、消えた？」と聞きます。

子どもは、

聞かれたことに答えるために、

自分が行った計算を、

言葉にします。

そして、

３＋＝ の ＋ を示して、

「これが消えた」のように答えてくれます。

こちらから、

「何が、消えた？」と聞かれたから、

子どもは、

「これが（＋）消えた」と答えています。

「聞かれたから、答えただけだ」と、

子どもは思っているでしょうが、

実は、

自分の計算を言葉にして、

説明することで、

こちらに、

計算の仕方を教えています。

そして、

子どもは、

そうとは知らないで、

こちらに教えることで、

深く学ぶことができます。

「そうか、たし算を計算している」、

「 ＋ を、取っただけ」、

「でも、３ に を足すとは、

こういうことだ」のような感じです。

教えることで、

子どもの学びは深くなります。

さて、

実際の聞き方は、

以下のようです。

子どもの計算 ３＋＝３ の

答え ３ を隠して、

３＋＝ だけが見えるようにしてから、

「これから」、

次に、

３＋＝３ の ３＋＝ を隠して、

３ だけが見えるようにしてから、

「これ、何が、消えた？」です。

普通の感覚では、

計算とはみえない計算 ３＋＝３ の

計算の仕方を、

「これから、これ、何が、消えた？」と聞かれて、

自分がした計算を

わざとらしいと感じながら、

言葉にして説明することで、

子どもは、

教えることで学ぶことを体験しています。

（基本 －４７２）、（分数 －１９３）

途中まで計算した子から、続きの計算を聞かれます。子どもの計算の続きだけを、すぐに教えれば、自分を認められて、しかも、自分の聞きたいことですから、子どもは真剣になってこちらの教えを学びます。

のように、

途中まで計算します。

そして、

続きの計算を聞きます。

子どもから

続きの計算を聞かれたこちらは、

すぐに、

続きの計算を教えます。

この子と同じ向きを向くような教え方、

つまり、

答えを出すことだけを教えます。

ですから、

この子の計算 を、

そのまま認めて、

この子の続きの計算をリードして、

短時間のうちに、

解き終えます。

こうすると、

子どもは、

自分の計算の続きだけを

すぐに教えてもらえますから、

こちらが教えることを

初めから、

真剣になって、

学びます。

このように、

子どもの計算をそのまま認めて、

子どもが聞きたい続きの計算だけを、

すぐに教えれば、

子どもは、

必ず真剣になります。

の

１３ の １ と、

３２１ の １ を順に示して、

「いんいちがいち（１×１＝１）」、

６ の真下を示して、

「ここ、いち（１）」です。

教えられた子は、

自分でも、

１×１＝１ を心の中で計算して、

と書きます。

自分では計算できなかった部分です。

子どもは真剣なままです。

次に、

の

１３ の １ と、

３２１ の ２ を順に示して、

「いんにがに（１×２＝２）」、

９ の真下を示して、

「ここ、に（２）」です。

教えられた子は、

やはり心の中で計算して、

と書きます。

続けて、

の

１３ の １ と、

３２１ の ３ を順に示して、

「いんさんがさん（１×３＝３）」、

９ の斜め左下を示して、

「ここ、さん（３）」です。

教えられた子は、

自分と同じ計算ですから、

と書きます。

まったく分からなかったのではなくて、

左にずらして書くのだろうと、

当たりを付けていた子は、

答えを書くことで、

「やはり、そうか！」と納得します。

それから、

の ３２１ の下に、

「線」と言って、

のように線を引かせてから、

たし算をリードします。

の ９６３ の ３ を示して、

「これ、ここ」で、

です。

下に移すだけです。

そして、

９６３ の ６ と、

３２１ の １ を順に示して、

「ろく足すいち、しち（６＋１＝７）」、

「ここ」で、

です。

それから、

９６３ の ９ と、

３２１ の ２ を順に示して、

「く足すに、じゅういち（９＋３＝１１）」、

「ここ、いち（１）」、

「指、いち（１）」で、

と書かせて、

繰り上がり数 １ を指に取らせます。

最後に、

の

３２１ の ３ を示してから、

子どもが指に取った １ を触って、

「いち（１）増えて、し（４）」、

「ここ」で、

です。

こちらの計算の実況中継を見て、

自分も同じ計算をして、

こちらが出した答えを書くような

計算の当事者として参加することで、

解き終わり、

子どもは計算の仕方を、

理解します。

（基本 －４７１）、（×÷ －１０２）

子どもは、計算問題を出されると、計算して答えを出します。出す向きを向きます。このように出す向きを向いている子に、間違えた計算の直し方を教えるとき、計算して答えを出すことだけを教えます。こうして、子どもと同じ向きの出す向きを向きます。

と、

の

繰り下がりの有無で混乱しています。

繰り下がりが、無いのに、

のように計算します。

正しくは、 です。

上から下を、そのまま引くことができます。

あるいは、

のように、

繰り下がりが、有るのに、

無いような計算です。

正しい計算は、 です。

でも、

このように見ることができるのは、

こちらです。

当の子どもは、

筆算のひき算の計算をして、

その答えを出しているだけです。

子どもは、

計算問題 を前にしたら、

計算して答えを出します。

これが、

子どものしていることです。

の ４ と ３ を見て、

４－３＝１ と計算して、

と書きます。

次に、

の ６４ の ６ を見て、

１ 減らして、

５ にして、

５－２＝３ と計算して、

と書きます。

この子は、

間違えた計算をしたのではなくて、

問題 を前にして、

計算して答えを出して、

と書いています。

子どもがしていることは、

計算して答えを出すことです。

計算して、

その結果、

答えが間違えていますから、

「×」が付きます。

この子に、

間違えた計算 の直し方を教えます。

こちらは、

答えを出すことだけを教えるようにします。

子どもと同じ向きを向くためです。

「混乱しているようですね・・」や、

「繰り下がりがないので・・」と、

言葉で説明して、

計算の仕方を理解させようとすると、

こちらは、

答えを出す向きではなくて、

言葉で説明することで、

子どもに入れようとしていますから、

向きが逆向きになります。

そうではなくて、

子どもに何も入れようとしないで、

計算して答えを出すことだけに絞れば、

こちらも、

子どもと同じ向きを向くことができます。

以下は、

計算して答えを出すだけの教え方の

具体的な一例です。

子どもの書いた答え を

そのまま残して、

これを利用します。

の ４ と ３ を示して、

「し引くさん、いち（４－３＝１）」、

子どもが書いている答え ３１ の １ を示して、

「合っている」です。

計算して答えを出しているだけです。

出す向きです。

続いて、

の ６ と ２ を示して、

「ろく引くに、し（６－２＝４）」、

子どもが書いている答え ３１ の ３ を示して、

「これ、し（４）」です。

計算して答えを出しているだけです。

子どもと同じ、出す向きです。

だから、

子どもは素直に、

と書き直します。

そして、

書き直すことで、

「ろく（６）のままなのだ！」と納得します。

このような教え方をすれば、

計算して答えを出しているだけですから、

子どもとまったく同じ向きです。

参考のために、

を直す教え方を、

以下に書きます。

の ４ と ５ を示して、

「し引くご（４－５＝）、引けない」、

「じゅうし引くご、く（１４－５＝９）」、

子どもが書いている答え ３９ の ９ を示して、

「合っている」です。

やはり、

計算して答えを出しているだけです。

出す向きです。

続いて、

の ６ を示して、

「いち減って、ご（５）」、

３５ の ３ を示して、

「ご引くさん、に（５－３＝２）」、

子どもが書いている答え ３９ の ３ を示して、

「これ、に（２）」です。

計算して答えを出しているだけです。

子どもと同じ、出す向きです。

子どもは素直に、

と書き直します。

そして、

書き直すことで、

「いち（１）減って、ご（５）になるのだ！」と納得します。

（基本 －４７０）、（＋－ －２７９）

約数のリスト ： ２ 、３ 、５ 、７ 、１１ の使い方と、これ以上約分できないことの確かめ方を教えます。そして、自力で、約分できるように育てます。それから繰り返し、約分を計算させます。すると、ウンザリとしながらの計算の試練を乗り越えて、約数を出す感覚を持って、既約分数になったと感覚的に判断できる子に育ちます。

分数の約分は、

上（分子）と下（分母）を、

同じ数で割って、

簡単にするだけのことです。

「簡単にする」のような

曖昧な言い方をすることが多いのですが、

「これ以上、約分できない」、

つまり、

既約分数にするのが約分です。

ルールは、

とてもシンプルですから、

約分ゲームのようにできます。

このような約分で、

子どもが感じる難しさは、

２ つです。

割る数（約数）を自分で見つけることと、

これ以上は約分できなくなったと、

自分で判断することです。

実は、

約数を見つけることも、

既約分数（これ以上は約分できなくなった）と

判断することも、

感覚です。

このような約分の感覚は、

７＋６＝ を見たら、

答え １３ を出すたし算の感覚や、

２８÷４＝ を見たら、

答え ７ を出すわり算の感覚と同じように、

繰り返し計算することにウンザリしていても

計算を続けて、その結果、

持つことができる感覚です。

ですから、

計算をしないで、

言葉で説明されて、

持つことはできません。

でも、

約数を見つける感覚を持つ前であっても、

約数を見つけて、

約分できるようにしないと。

感覚を持つために、

繰り返し計算すること自体をできません。

ですから、

約数を見つける感覚を持つ前の子に、

割る数（約数）を見つける

シンプルな方法を教えます。

５ つの割る数（約数）の候補を持たせるだけの

シンプルな方法です。

その ５ つの数は、

２ と、３ と、５ と、７ と、１１ です。

約数のリストです。

このリストの使い方も、

シンプルです。

まず、２ で割れるか確かめます。

ダメであれば、

３ を確かめます。

これもダメであれば、

５ を確かめて・・です。

約数を出す感覚は、

１ 回で約分できる数を出す感覚です。

２ と、３ と、５ と、７ と、１１ の

５ つの数を利用する約分は、

１ 回で約分できることもあれば、

２ 回、３ 回と約分するときもあります。

この ５ つの数 ：

２ と、３ と、５ と、７ と、１１ では、

約分できなくて、

１３ や、１７ や、１９ を

確かめなければならないこともあります。

以下は、

２ と、３ と、５ と、７ と、１１ の

約数のリストの使い方の例です。

例えば、

＝ の約分です。

上（分子） ３６ は、

リスト ： ２ 、３ 、５ 、７ 、１１ の

最初の数 ２ で割れます。

同じ数 ２ で、

下（分母） ４８ も割れますから、

２ は、

＝ の約数です。

２ で割ります。

＝ です。

１ 回、

わり算を計算したために、

これを答えにする子がいます。

こういう子に、

＝ の 「 ＝」 を隠して、

だけが見えるようにしてから、

「２ で割る」と教えます。

「２ で割る」と教えられても、

この子は、計算を終えていますから、

何を言われているのか

分からないことがあります。

このような子に、

もう一度、

「２ で割る」と教えると、

だらしのない子を育ててしまいますから、

計算をリードするようにします。

「教えたことを聞いていたの？」のような

ネガティブな気持ちを、

持たないように自制して、

淡々と、

「上、１８÷２＝９」、

「下、２４÷２＝１２」です。

このようにリードされると、

子どもは素直に、

＝＝ と書きます。

１ 回で終わったと思っていた約分を、

もう １ 回行って、

２ 回、約分の計算をしています。

だから、

これが答えと思うようです。

こういう子に、

さらに、教えます。

＝＝ の 「 ＝＝」 を隠して、

だけが見えるようにしてから、

「３ で割る」と教えます。

先ほどと違って、

「えっ、そうなの！」、

「まだ約分できるの・・」、

「３ で割るらしい・・」と理解してくれます。

そうすると子どもは、

９÷３＝３ 、

１２÷３＝４ と計算して、

＝＝＝ と書きます。

こうなった後、

これ以上約分できないことを

確かめます。

の上（分子） ３ を示して、

「３ で割れる」、

下（分母） ４ を示して、

「３ で割れない」、

「これ以上、約分できない」です。

このように教えて、

これ以上、約分できないことの

確かめ方を教えます。

こうして、

リスト ： ２ 、３ 、５ 、７ 、１１ の使い方と、

これ以上約分できないことの確かめ方を

子どもに教えます。

子どもが、

自力で約分できるようになるまで、

３ 問や、５ 問と教えます。

自力で約分できるように育てたら、

繰り返し約分を計算させます。

そして、

ウンザリとしても、

約分の計算を続けさせると、

約数を出す感覚と、

既約分数になったと判断する感覚を、

子どもは持ちます。

こうなると、

＝ を見たら、

約数 １２ を感覚で出して、

１ 回の計算で、

＝ と約分して、

が既約分数であることを、

感覚的に判断しています。

（基本 －４６９）、（分数 －１９２）

３７×２０＝ を、（３×１０＋７）×（２×１０）＝ と書き換えて、式の展開で計算すれば、３７×２０＝ の計算の仕方を理解することができます。

３７×２０＝ の

３７ を、３×１０＋７ と、

２０ を、２×１０ と書きます。

３７ の ３ は、

十の位の数ですから、

１０ が、３ つです。

その正体は、３×１０ です。

７ は、一の位の数ですから、

そのままです。

ですから、

３７ の正体を式に書くと、

３×１０＋７ になります。

２０ は、やや特殊です。

十の位の数 ２ だけですから、

２×１０ が、正体です。

３７×２０＝ を、

正体をハッキリとさせて書き換えます。

（３×１０＋７）×（２×１０）＝ です。

この式、

（３×１０＋７）×（２×１０）＝ の計算は、

中学数学の式の展開です。

普通に展開します。

（３×１０）×（２×１０）＋７×（２×１０） です。

計算できる部分を計算します。

式の最初の部分、

（３×１０）×（２×１０） は、

（３×２）×１０×１０ です。

計算すると、

３×２＝６ に、

１０×１０＝ が付きます。

（３×１０）×（２×１０）＝

６× です。

６ は、百の位の数です。

次の部分、

７×（２×１０） は、

（７×２）×１０ です。

計算すると、

７×２＝１４ です。

そして、

この １４ の正体は、

１×１０＋４ ですから、

１４ の １ は、繰り上がり数です。

この １×１０＋４ に、

１０ が付きます。

（１×１０＋４）×１０＝

１×１０×１０＋４×１０ です。

ここまで、

ダラダラと長い計算ですから、

全体の流れを振り返ります。

３７×２０＝ の正体は、

（３×１０＋７）×（２×１０）＝ です。

この正体の式を、

中学数学の式の展開で開くと、

６×＋１×＋４×１０ です。

「×」が付いている ６ と １ をまとめて、

つまり、

普通の言い方でしたら、

繰り上がりのたし算で、

６＋１＝７ から、

７×＋４×１０ に変わります。

通して書くと、

３７×２０＝

（３×１０＋７）×（２×１０）＝

６×＋１×＋４×１０＝

７×＋４×１０ です。

７×＋４×１０ を、

位取りの書き方に直すと、

７４０ です。

これは、

３７×２０＝ を、

２０ の ０ を書いてから、

２ と ７ を、２×７＝１４ として、

１ を繰り上がり数にして、

２ と ３ を、２×３＝６ として、

繰り上がり数 １ を足して、

７ にする計算、

３７×２０＝７４０ と同じ結果です。

もちろん、

と筆算に書き換えて、

と計算しても、

同じ答えです。

３７×２０＝ を、

（３×１０＋７）×（２×１０）＝ のように書くことで、

計算の仕方を理解することができます。

同じように書き換えれば、

５０×４３＝ は、

（５×１０）×（４×１０＋３）＝ です。

８×１２５＝ は、

８×（１×＋２×１０＋５）＝ です。

中学数学の式の展開で、

計算することができます。

（基本 －４６８）、（×÷ －１０１）

３７×２０＝ や、５０×４３＝ や、８×１２５＝ を、このまま計算する方法を教えます。２ つの数を順に組み合わせて計算します。

３７×２０＝ を、

筆算 に書き換えずに、

このまま計算します。

２ つの数を、

順に組み合わせる計算の仕方を教えます。

こちらの計算の実況中継を見せて、

子どもをリードする教え方です。

３７×２０＝ の ０ を示して、

「これ、ここ」とリードして、

３７×２０＝　　０ と書かせます。

次に、

３７×２０＝　　０ の

２ と ７ をこの順に、

つまり、右から左の向きに示して、

「にしちじゅうし（２×７＝１４）」、

「ここ、し（４）」、

「指、いち（１）」とリードして、

３７×２０＝　４０ と書かせて、

子どもの指に、

繰り上がり数 １ を取らせます。

続いて、

３７×２０＝　４０ の

２ と ３ をこの順に

つまり、右から左の向きに示して、

「にさんがろく（２×３＝６）」、

子どもが、

指に取っている繰り上がり数 １ を触って、

「いち（１）足して、しち（７）」、

「ここ」とリードして、

３７×２０＝７４０ と書かせます。

これが、

かけ算の答えです。

５０×４３＝ も、

筆算 に書き換えずに、

このまま計算してしまう

計算の仕方を教えます。

５０×４３＝ の ０ を示して、

「これ、ここ」とリードして、

５０×４３＝　　　０ と書かせます。

次に、

５０×４３＝　　０ の

５ と ３ をこの順に、

つまり、左から右の向きに示して、

「ごさんじゅうご（５×３＝１５）」、

「ここ、ご（５）」、

「指、いち（１）」とリードして、

５０×４３＝　　５０ と書かせて、

子どもの指に、

繰り上がり数 １ を取らせます。

続いて、

５０×４３＝　　５０ の

５ と ４ をこの順に

つまり、左から右の向きに示して、

「ごしにじゅう（５×４＝２０）」、

子どもが、

指に取っている繰り上がり数 １ を触って、

「いち（１）足して、にじゅういち（２１）」、

「ここ」とリードして、

５０×４３＝２１５０ と書かせます。

これが、

かけ算の答えです。

８×１２５＝ も、

筆算 に書き換えずに、

このまま計算してしまう

計算の仕方を教えます。

８×１２５＝ の

８ と ５ をこの順に、

つまり、左から右の向きに示して、

「はちごしじゅう（８×５＝４０）」、

「ここ、ぜろ（０）」、

「指、し（４）」とリードして、

８×１２５＝　　　０ と書かせて、

子どもの指に、

繰り上がり数 ４ を取らせます。

次に、

８×１２５＝　　　０ の

８ と ２ をこの順に

つまり、左から右の向きに示して、

「はちにじゅうろく（８×２＝１６）」、

子どもが、

指に取っている繰り上がり数 ４ を触って、

「し（４）足して、にじゅう（２０）」、

「ここ、ぜろ（０）」、

「指、に（２）」とリードして、

８×１２５＝　　００ と書かせて、

子どもの指に、

繰り上がり数 ２ を取らせます。

続いて、

８×１２５＝　　００ の

８ と １ をこの順に

つまり、左から右の向きに示して、

「はちいちがはち（８×１＝８）」、

子どもが、

指に取っている繰り上がり数 ２ を触って、

「に（２）足して、じゅう（１０）」、

「ここ」とリードして、

８×１２５＝１０００ と書かせます。

これが、

かけ算の答えです。

このようにリードして、

３７×２０＝ や、

５０×４３＝ や、

８×１２５＝ を、

このまま計算する方法を教えれば、

子どもは、

何となくでしょうが、

２ つの数の組み合わせ方を理解します。

何となく、

どちらからどちらの向きなのかや、

一の位の数から組み合わせているようなことを、

計算したことで、

体感するようです。

（基本 －４６７）、（×÷ －１００）