2021-01-16

２０２１年０１月０９日(土)～２０２１年０１月１５日（金）のダイジェスト。

２１年０１月０９日（土）

それ以前と、

それ以後で、

子どもが大きく違ってしまう

固有な計算があります。

「この子、化けた」と感じます。

例えば、

すべてのたし算の問題の答えが

心に浮かぶようになったとき、

「化けた」と感じます。

あるいは、

「試行錯誤で計算の仕方を決める」ように

子どもが育つときです。

２１年０１月１０日（日）

因数分解の練習を繰り返すと、

やがて子どもは、

式の「形」を見るようになります。

例えば、

${４ｘ^{２}ｙ^{２} -ｙ^{２}}=$ の因数分解を、

まず、

${ｙ^{２}（４ｘ^{２} -１）}=$ として、

それから、

${ｙ^{２}（２ｘ+１）（２ｘ-１）}$ とできるのは、

式 ${４ｘ^{２}ｙ^{２} -ｙ^{２}}=$ の「形」を見て、

公式： ${ａ^{２} -ｂ^{２}}=（ａ+ｂ）（ａ-ｂ）$ が

隠れているのを見抜いたからです。

２１年０１月１１日（月）

たし算７＋８＝１５の計算の

全体を見ての印象は、

２つの数：７と８を、

１つの数：１５に変えていることです。

これは、

たし算の「形」と言えます。

「しち足すはちは？」と聞かれて、

頭に、答え「じゅうご（１５）」が浮かぶ感覚は、

２つの数：７と８を、

１つの数：１５に結び付ける感覚です。

２１年０１月１２日（火）

頭の中に筆算の「形」を持てば、

３４５＋９８７＝や、

５２－３８＝や、

３４×８＝を、

筆算を書かずに、

このまま計算できます。

２１年０１月１３日（水）

分数を、

${\Large\frac{〇}{〇}}$

棒の上と下に数が書いてある「形」と見れば、

計算を理解しやすくなります。

分数計算の前に、

たし算７＋８＝１５や、

ひき算１３－４＝９や、

かけ算２×６＝１２や、

わり算３２÷４＝８を、

楽にスラスラとできるようにしています。

分数計算は、

この４つの計算を組み合わせるだけです。

２１年０１月１４日（木）

分数の計算は、

たし算７＋８＝１５や、

ひき算１３－４＝９や、

かけ算２×６＝１２や、

わり算３２÷４＝８の組み合わせです。

ですから、

組み合わせ方を、

「形」と見ることができます。

２１年０１月１５日（金）

算数の計算の中に、

さまざまな「形」があります。

計算を練習する中で、

子どもは自然に、

「形」を見るようになります。

2021-01-15

算数の計算の中に、さまざまな「形」があります。計算を練習する中で、子どもは自然に、「形」を見るようになります。

たし算７＋８＝１５や、

ひき算１３－４＝９や、

かけ算２×６＝１２や、

わり算３２÷４＝８の

答えを浮かべる感覚を持つと、

子どもは頭の中で、

この４つの計算の数字が消えて、

たし算〇＋〇＝〇や、

ひき算〇－〇＝〇や、

かけ算〇×〇＝〇や、

わり算〇÷〇＝〇のようなイメージを

見ています。

三角形や、四角形や、円の図形。

${\Huge {△}}$ 　　　 ${\Huge {□}}$ 　　　 ${\Huge {〇}}$

このような図形を見るように、

たし算〇＋〇＝〇や、

ひき算〇－〇＝〇や、

かけ算〇×〇＝〇や、

わり算〇÷〇＝〇を、

全体を見ての印象としての「形」と見ています。

でも、

子どもは、

「形」を見ていると意識していないようです。

算数の計算が進み、

たし算の筆算 ${\normalsize { \begin{array}{rr} ３４５ \\ ＋\: ９８７ \\ \hline \end{array} }} \\$ の計算に慣れて、

楽にスラスラとできるようになると、

数字が消えた ${\normalsize { \begin{array}{rr}〇〇〇\\ ＋\:〇〇〇\\ \hline \end{array} }} \\$ のような「形」を見て、

筆算を計算するようになります。

実は、

数字が消えた ${\normalsize { \begin{array}{rr}〇〇〇\\ ＋\:〇〇〇\\ \hline \end{array} }} \\$ のような「形」を、

子どもは頭の中に見ていますから、

自分をリードして、

${\normalsize { \begin{array}{rr} ３４５ \\ ＋\: ９８７ \\ \hline \end{array} }} \\$ のような筆算を計算できます。

さらに算数の計算が進み、

分数の計算に進むと、

約分 ${\Large\frac{２}{８}}$ ＝ ${\Large\frac{１}{４}}$ や、

分数のたし算 ${\Large\frac{２}{３}}$ ＋ ${\Large\frac{１}{４}}$ ＝ ${\Large\frac{８}{１２}}$ ＋ ${\Large\frac{３}{１２}}$ ＝ ${\Large\frac{１１}{１２}}$ を、

たし算７＋８＝１５や、

ひき算１３－４＝９や、

かけ算２×６＝１２や、

わり算３２÷４＝８の

組み合わせと理解するようになります。

そして、

分数の見た目の「形」を、

数字が消えた ${\Large\frac{〇}{〇}}$ のように、

棒の上と下に

数が書いてある「形」と見ます。

こうなると、

約分 ${\Large\frac{２}{８}}$ ＝ ${\Large\frac{１}{４}}$ を、

「上÷同じ数」、「下÷同じ数」と、

分数のたし算 ${\Large\frac{２}{３}}$ ＋ ${\Large\frac{１}{４}}$ ＝ ${\Large\frac{８}{１２}}$ ＋ ${\Large\frac{３}{１２}}$ ＝ ${\Large\frac{１１}{１２}}$ を、

「（大きい下）÷（小さい下）」、

「（大きい下）×２÷（小さい下）」、

「（大きい下）×３÷（小さい下）」、

・・・

「割り切れたときの割られる数（共通分母）」、

「上×（共通分母÷下）」、

「上＋上」のように理解します。

このような計算の仕方の理解は、

つまりは、

たし算７＋８＝１５や、

ひき算１３－４＝９や、

かけ算２×６＝１２や、

わり算３２÷４＝８の

組み合わせ方の「形」を見ています。

分数のたし算の後、

ひき算、かけ算、わり算を習ってから、

四則混合の計算に進みます。

四則混合に進むと、

子どもは、

式全体の「形」を見るようになります。

例えば、

１３÷（２－ ${\Large\frac{１}{７}}$ ）＝や、

（ ${\Large\frac{２}{５}}$ － ${\Large\frac{３}{１０}}$ ）× ${\Large\frac{５}{６}}$ ＋ ${\Large\frac{１１}{１２}}$ ＝のような四則混合です。

この四則混合から、

数字だけを消します。

そして、

数字を、〇で代用します。

こうすると、

１３÷（２－ ${\Large\frac{１}{７}}$ ）＝は、

〇 ÷（〇－〇）＝のように、

（ ${\Large\frac{２}{５}}$ － ${\Large\frac{３}{１０}}$ ）× ${\Large\frac{５}{６}}$ ＋ ${\Large\frac{１１}{１２}}$ ＝は、

（〇－〇）× 〇＋〇＝のように見えます。

計算する前に、

計算順を決めさせるようにすると、

子どもは自然に、

〇 ÷（〇－〇）＝や、

（〇－〇）× 〇＋〇＝のように

数字が消えた式全体を見るようになります。

つまり、

計算する前に、

計算順を決めるとき、

子どもは自然に、

式全体の「形」を見ています。

（基本 ${\normalsize {α}}$ －３３６）、（＋－ ${\normalsize {α}}$ －２１６）、

（×÷ ${\normalsize {α}}$ －０８２）、（分数 ${\normalsize {α}}$ －１１６）

2021-01-14

分数の計算は、たし算７＋８＝１５や、ひき算１３－４＝９や、かけ算２×６＝１２や、わり算３２÷４＝８の組み合わせです。ですから、組み合わせ方を、「形」と見ることができます。

分数の計算を習う前に、

たし算７＋８＝１５や、

ひき算１３－４＝９や、

かけ算２×６＝１２や、

わり算３２÷４＝８が、

楽にスラスラとできるようになっています。

この４つの計算を基礎として、

子どもは、分数の計算を習います。

さて、

分数の計算は、

たし算・ひき算・かけ算・わり算を

組み合わせるだけです。

だから、

分数の計算で習うのは、

新しい計算ではなくて、

たし算・ひき算・かけ算・わり算の

４つの計算の組み合わせ方です。

となると、

分数の

全体を見ての印象としての「形」は、

実は、

２種類あります。

１つ目は、見た目の「形」です。

${\Large\frac{〇}{〇}}$ のように、

棒の上と下に

数が書いてある「形」です。

２つ目の「形」は、

たし算・ひき算・かけ算・わり算の

４つの計算の組み合わせ方の「形」です。

これは、

目に見えない「形」ですが、

特有の組み合わせ方をしますから、

確かに、

組み合わせ方は、「形」です。

例えば、

${\Large\frac{９}{４}}$ ＝２ ${\Large\frac{１}{４}}$ や、

${\Large\frac{２}{８}}$ ＝ ${\Large\frac{１}{４}}$ のように、

同じ分数を、

違う書き方をするときの

書き換え方の「形」です。

一方の分数から、

他方の分数に書き換える計算は、

たし算・ひき算・かけ算・わり算の

４つの計算の組み合わせです。

それぞれ違う組み合わせ方です。

つまり、

組み合わせ方を「形」と見て、

「形」が違います。

仮分数 ${\Large\frac{９}{４}}$ を、

帯分数２ ${\Large\frac{１}{４}}$ に書き換える計算は、

９÷４＝２・・・１ですから、

「上÷下」の「形」です。

この逆向きの、

帯分数２ ${\Large\frac{１}{４}}$ を、

仮分数 ${\Large\frac{９}{４}}$ に書き換える計算は、

４×２＋１＝９ですから、

「下×横＋上」の「形」です。

「上÷下」と、

「下×横＋上」は、

違う「形」です。

また、

${\Large\frac{２}{８}}$ を、

${\Large\frac{１}{４}}$ に約分する計算は、

２÷２＝１と、８÷２＝４ですから、

「上÷同じ数」、「下÷同じ数」の「形」です。

この逆向きの

${\Large\frac{１}{４}}$ を、

${\Large\frac{２}{８}}$ に倍分する計算は、

１×２＝２と、４×２＝８ですから、

「上×同じ数」、「下×同じ数」の「形」です。

この４種類の分数の書き換え方を並べると、

「上÷下」、

「下×横＋上」、

「上÷同じ数」、「下÷同じ数」、

「上×同じ数」、「下×同じ数」ですから、

すべて、違う「形」です。

なお、

普通の言い方でしたら、

「計算手順」や、

「アルゴリズム」や、

「レシピ」です。

ですが、

たし算・ひき算・かけ算・わり算の

４つの計算の組み合わせ方に、

計算特有の「形」がありますから、

「形」と見ることもできます。

さて、

分数同士の計算の「形」として、

分数同士のたし算の

計算の組み合わせ方の「形」を見ます。

分数のたし算は、

下を同じ数にして（共通分母）から、

上同士を足す計算です。

例えば、

${\Large\frac{２}{３}}$ ＋ ${\Large\frac{１}{４}}$ ＝でしたら、

最初に、２つの下、

３と、４を同じ数にします。

かけ算とわり算で計算します。

大きい下４を、

小さい下３で、割ります。

割り切れません。

大きい下４を、

２倍した８を、

小さい下３で、割ります。

割り切れません。

大きい下４を、

３倍した１２を、

小さい下３で、割ります。

割り切れます。

この計算から、

下を、１２にそろえます。

組み合わせ方の「形」を、

意識した書き方にすると、

「（大きい下）÷（小さい下）」、

「（大きい下）×２÷（小さい下）」、

「（大きい下）×３÷（小さい下）」、

・・・

「割り切れたときの割られる数（共通分母）」、

こうなります。

${\Large\frac{２}{３}}$ ＋ ${\Large\frac{１}{４}}$ ＝でしたら、

共通分母は、１２です。

次は、

それぞれの分数を、

共通分母の１２を下にする倍分です。

まず、

${\Large\frac{２}{３}}$ の下を、１２にします。

１２÷３＝４ですから、

上の２を、４倍します。

２×４＝８です。

これで、

${\Large\frac{２}{３}}$ ＝ ${\Large\frac{８}{１２}}$ と書き換わります。

それから、

${\Large\frac{１}{４}}$ の下を、１２にします。

１２÷４＝３ですから、

上の１を、３倍します。

１×３＝３です。

${\Large\frac{１}{４}}$ ＝ ${\Large\frac{３}{１２}}$ と書き換わります。

これで、

下が、１２にそろいます。

${\Large\frac{２}{３}}$ ＋ ${\Large\frac{１}{４}}$ ＝ ${\Large\frac{８}{１２}}$ ＋ ${\Large\frac{３}{１２}}$ ＝です。

組み合わせ方の「形」を、

意識した書き方にすると、

「上×（共通分母÷下）」です。

この後の計算は、

上同士を足します。

${\Large\frac{２}{３}}$ ＋ ${\Large\frac{１}{４}}$ ＝ ${\Large\frac{８}{１２}}$ ＋ ${\Large\frac{３}{１２}}$ ＝でしたら、

${\Large\frac{１１}{１２}}$ です。

組み合わせ方の「形」を、

意識した書き方にすると、

「上＋上」です。

分数同士のたし算の「形」は、

「（大きい下）÷（小さい下）」、

「（大きい下）×２÷（小さい下）」、

「（大きい下）×３÷（小さい下）」、

・・・

「割り切れたときの割られる数（共通分母）」、

「上×（共通分母÷下）」、

「上＋上」のようになります。

（基本 ${\normalsize {α}}$ －３３５）、（＋－ ${\normalsize {α}}$ －２１５）、

（×÷ ${\normalsize {α}}$ －０８１）、（分数 ${\normalsize {α}}$ －１１５）

2021-01-13

分数を、棒の上と下に数が書いてある「形」と見れば、計算を理解しやすくなります。

算数の分数に、

全体を見ての印象としての「形」があります。

棒の上と下に、

数が書いてある「形」です。

例えば、

${\Large\frac{３}{５}}$ は、

棒の上に３が、

下に５が書いてある分数です。

分数の「形」は、

${\Large\frac{〇}{〇}}$ のような「形」です。

こう書くと、

数字が消えて、

「形」だけです。

三角形や、四角形や、円の図形。

${\Huge {△}}$ 　　　 ${\Huge {□}}$ 　　　 ${\Huge {〇}}$

このような図形を見るように、

分数 ${\Large\frac{〇}{〇}}$ を、

棒の上と下に

数が書いてある「形」と見ます。

つまり、

分数 ${\Large\frac{〇}{〇}}$ を、

上と下の位置で区別している

２つの数で書かれた

「形」と見る見方です。

普通は、

上の数を「分子」、

下の数を「分母」と言います。

これは言い方の言葉の問題です。

「形」とは、関係のない話しです。

さて、

分数計算の前に、

たし算７＋８＝１５や、

ひき算１３－４＝９や、

かけ算２×６＝１２や、

わり算３２÷４＝８を、

楽にスラスラとできるようにしています。

分数計算は、

この４つの計算を組み合わせるだけです。

最初に、

１つの分数の計算があります。

分数の書き方です。

${\Large\frac{９}{４}}$ ＝２ ${\Large\frac{１}{４}}$ や、

${\Large\frac{２}{８}}$ ＝ ${\Large\frac{１}{４}}$ のように、

同じ分数を、

違う書き方をします。

１番目の ${\Large\frac{９}{４}}$ ＝２ ${\Large\frac{１}{４}}$ の

${\Large\frac{９}{４}}$ は、仮分数、

２ ${\Large\frac{１}{４}}$ は、帯分数です。

同じ分数の違う書き方です。

さて、

仮分数 ${\Large\frac{９}{４}}$ の上の数９を、

下の数４で割り、

９÷４＝２・・・１と計算して、

２ ${\Large\frac{１}{４}}$ と、

帯分数に書き換えることができます。

仮分数 ${\Large\frac{９}{４}}$ も、

帯分数２ ${\Large\frac{１}{４}}$ も、

下の数４は同じです。

また、

帯分数２ ${\Large\frac{１}{４}}$ の下の数４と、

横の数２を掛けて、

４×２＝８と計算して、

上の数１を足して、９にすれば、

${\Large\frac{９}{４}}$ と、

仮分数に書き換えることができます。

仮分数の「形」は、 ${\Large\frac{〇}{〇}}$ です。

帯分数の「形」は、〇 ${\Large\frac{〇}{〇}}$ です。

同じ分数の違う形です。

このように。

同じ数の別の書き方を、

分数で初めて習います。

２番目の ${\Large\frac{２}{８}}$ ＝ ${\Large\frac{１}{４}}$ は、

約分です。

${\Large\frac{２}{８}}$ は、

上の数が、２で、

下の数が、８です。

${\Large\frac{１}{４}}$ は、

上の数が、１で、

下の数が、４です。

上の数と下の数が、違います。

ですから、

違う分数です。

でも、

${\Large\frac{２}{８}}$ は、

上の数２を、

２で割り、２÷２＝１として、

答え１を、

別の分数の上の数にして、

下の数８を、

２で割り、８÷２＝４として、

答え４を、

別の分数の下の数にすれば、

${\Large\frac{１}{４}}$ です。

この計算を、

約分と言います。

このように、

上の数と、

下の数を、

同じ数２で割っていますから、

${\Large\frac{２}{８}}$ と、 ${\Large\frac{１}{４}}$ を同じと見るようにします。

逆に、

${\Large\frac{１}{４}}$ は、

上の数１に、

２を掛けて、１×２＝２として、

答え２を、

別の分数の上の数にして、

下の数４に、

２を掛けて、４×２＝８として、

答え８を、

別の分数の下の数にすれば、

${\Large\frac{２}{８}}$ です。

この計算を、

倍分といいます。

ここでも、

上の数と、

下の数に、

同じ数２を掛けていますから、

${\Large\frac{１}{４}}$ と、 ${\Large\frac{２}{８}}$ を同じと見るようにします。

このように、

分数 ${\Large\frac{〇}{〇}}$ を、

棒の上と下に数が書いてある「形」と見れば、

仮分数と帯分数の変換の計算や、

約分や倍分の計算を、

今までの計算、

たし算７＋８＝１５や、

ひき算１３－４＝９や、

かけ算２×６＝１２や、

わり算３２÷４＝８で理解できます。

（基本 ${\normalsize {α}}$ －３３４）、（＋－ ${\normalsize {α}}$ －２１４）、

（×÷ ${\normalsize {α}}$ －０８０）、（分数 ${\normalsize {α}}$ －１１４）

2021-01-12

頭の中に筆算の「形」を持てば、３４５＋９８７＝や、５２－３８＝や、３４×８＝を、筆算を書かずに、このまま計算できます。

算数の計算に、

全体を見ての印象としての「形」があります。

図形の「形」を見て、

${\Huge {△}}$ 　　　 ${\Huge {□}}$ 　　　 ${\Huge {〇}}$

それぞれ、

三角形や、四角形や、円と見分けることと同じです。

筆算のたし算やひき算に、

全体を見ての印象としての「形」があります。

筆算のかけ算に、

全体を見ての印象としての「形」があります。

筆算のたし算の「形」とは、

聞き慣れませんが、

実際に、頭の中で見ています。

例えば、

３４５＋９８７＝を、

筆算を書かずに、

このまま計算するときです。

たし算の筆算 ${\normalsize { \begin{array}{rr} ３４５ \\ ＋\: ９８７ \\ \hline \end{array} }} \\$ を、

${\normalsize { \begin{array}{rr}〇〇〇\\ ＋\:〇〇〇\\ \hline \end{array} }} \\$ のような「形」として、

頭の中で見ているから計算できます。

頭の中で、

${\normalsize { \begin{array}{rr} ３４５ \\ ＋\: ９８７ \\ \hline \end{array} }} \\$ ではなくて、

数字が消えている ${\normalsize { \begin{array}{rr}〇〇〇\\ ＋\:〇〇〇\\ \hline \end{array} }} \\$ のような

「形」を見て計算します。

まず、

３４５＋９８７＝の５と、７を、

この順に見て、

足して、１２です。

頭の中の筆算の「形」 ${\normalsize { \begin{array}{rr}〇〇〇\\ ＋\:〇〇〇\\ \hline \end{array} }} \\$ が、

３４５＋９８７＝の

５＋７＝１２をリードしていますから、

１２の２を書いて、

１を繰り上がり数と覚えます。

答え２は、

１の位の数ですから、

３４５＋９８７＝　　　２のように、

＝から離して書きます。

次に、

３４５＋９８７＝　　　２の４と、８を、

この順に見て、

足して、１２にしてから、

繰り上がり数１を足して、

１３です。

頭の中の筆算の「形」 ${\normalsize { \begin{array}{rr}〇〇〇\\ ＋\:〇〇〇\\ \hline \end{array} }} \\$ のリードで、

３４５＋９８７＝　　３２と書いて、

１を繰り上がり数と覚えます。

そして、

３４５＋９８７＝　　３２の３と、９を、

この順に見て、

足して、１２にしてから、

繰り上がり数１を足して、

１３です。

頭の中の筆算の「形」 ${\normalsize { \begin{array}{rr}〇〇〇\\ ＋\:〇〇〇\\ \hline \end{array} }} \\$ のリードで、

３４５＋９８７＝１３３２と解き終わります。

頭の中に、

筆算の「形」 ${\normalsize { \begin{array}{rr}〇〇〇\\ ＋\:〇〇〇\\ \hline \end{array} }} \\$ をイメージして、

その「形」 ${\normalsize { \begin{array}{rr}〇〇〇\\ ＋\:〇〇〇\\ \hline \end{array} }} \\$ にリードされれば、

３４５＋９８７＝を、

このまま、

筆算のように計算できます。

次の例は、

５２－３８＝を、

筆算を書かずに、

このまま計算するときです。

ひき算の筆算 ${ \normalsize { \begin{array}{rr}\:\:\:\: ５２ \\ - ３８ \\ \hline \end{array} }} \\$ を、

${ \normalsize { \begin{array}{rr}\:\:\:\:〇〇\\ -〇〇\\ \hline \end{array} }} \\$ のような「形」として、

頭の中で見ているから計算できます。

頭の中で、

${ \normalsize { \begin{array}{rr}\:\:\:\: ５２ \\ - ３８ \\ \hline \end{array} }} \\$ ではなくて、

数字が消えている ${ \normalsize { \begin{array}{rr}\:\:\:\:〇〇\\ -〇〇\\ \hline \end{array} }} \\$ のような

「形」を見て計算します。

まず、

５２－３８＝の２と、８を、

この順に見て、

引きますが、

引けません。

２に、１を付けて、

１２にしてから、８を引きます。

１２－８＝４です。

頭の中の筆算の「形」 ${ \normalsize { \begin{array}{rr}\:\:\:\:〇〇\\ -〇〇\\ \hline \end{array} }} \\$ のリードで、

５２－３８＝　　４のように、

＝から離して書きます。

次に、

５２－３８＝　　４の５を見て、

１減って、４になっていますから、

３を引きます。

４－３＝１です。

頭の中の筆算の「形」 ${ \normalsize { \begin{array}{rr}\:\:\:\:〇〇\\ -〇〇\\ \hline \end{array} }} \\$ のリードで、

５２－３８＝１４と解き終わります。

頭の中に、

筆算の「形」 ${ \normalsize { \begin{array}{rr}\:\:\:\:〇〇\\ -〇〇\\ \hline \end{array} }} \\$ をイメージして、

その「形」 ${ \normalsize { \begin{array}{rr}\:\:\:\:〇〇\\ -〇〇\\ \hline \end{array} }} \\$ にリードされれば、

５２－３８＝を、

このまま、

筆算のように計算できます。

次の例は、

３４×８＝を、

筆算を書かずに、

このまま計算するときです。

かけ算の筆算 ${\normalsize { \begin{array}{rr} ３４ \\ \:\times \:\:\:\: ８ \\ \hline \end{array} }}\\$ を、

${\normalsize { \begin{array}{rr} 〇〇\\ \:\times \:\:\:\: 〇 \\ \hline \end{array} }}\\$ のような「形」として、

頭の中で見ているから計算できます。

頭の中で、

${\normalsize { \begin{array}{rr} ３４ \\ \:\times \:\:\:\: ８ \\ \hline \end{array} }}\\$ ではなくて、

数字が消えている ${\normalsize { \begin{array}{rr} 〇〇\\ \:\times \:\:\:\: 〇 \\ \hline \end{array} }}\\$ のような

「形」を見て計算します。

まず、

３４×８＝の８と、４を、

この順に見て、

掛けると、

８×４＝３２です。

頭の中の筆算の「形」 ${\normalsize { \begin{array}{rr} 〇〇\\ \:\times \:\:\:\: 〇 \\ \hline \end{array} }}\\$ が、

３４×８＝の

８×４＝３２をリードしていますから、

３２の２を書いて、

３を繰り上がり数と覚えます。

答え２は、

１の位の数ですから、

３４×８＝　　２のように、

＝から離して書きます。

次に、

３４×８＝　　２の８と、３を、

この順に見て、

掛けて、２４にしてから、

繰り上がり数３を足して、

２７です。

頭の中の筆算の「形」 ${\normalsize { \begin{array}{rr} 〇〇\\ \:\times \:\:\:\: 〇 \\ \hline \end{array} }}\\$ のリードで、

３４×８＝２７２と解き終わります。

頭の中に、

筆算の「形」 ${\normalsize { \begin{array}{rr} 〇〇\\ \:\times \:\:\:\: 〇 \\ \hline \end{array} }}\\$ をイメージして、

その「形」 ${\normalsize { \begin{array}{rr} 〇〇\\ \:\times \:\:\:\: 〇 \\ \hline \end{array} }}\\$ にリードされれば、

３４×８＝を、

このまま、

筆算のように計算できます。

（基本 ${\normalsize {α}}$ －３３３）、（＋－ ${\normalsize {α}}$ －２１３）、（×÷ ${\normalsize {α}}$ －０７９）

2021-01-11

たし算の計算の全体を見ての印象は、２つの数を、１つの数に変えていることです。これは、たし算の「形」と言えます。

因数分解の式、

${ｘ^{８} -ｙ^{８}}=$ や、

${４ｘ^{２}ｙ^{２} -ｙ^{２}}=$ や、

${ｘ^{４}+ｘ^{２}ｙ^{２} +ｙ^{４}}=$ に、

「形」があります。

細部ではなくて、

全体を見ての印象ですから、

「形」です。

図形を見ます。

${\Huge {△}}$ 　　　 ${\Huge {□}}$ 　　　 ${\Huge {〇}}$

全体を見ての印象で、

三角形や、四角形や、円などと判断します。

細部ではなくて、

全体を見るから、

この図形は、三角形とか言うことができます。

図形と同じように、

因数分解の式の「形」も、

細部ではなくて、

全体を見ることで、

何らかの印象を持つことができます。

つまり、

全体を見ての印象の「形」を見ると、

${ｘ^{８} -ｙ^{８}}=$ や、

${４ｘ^{２}ｙ^{２} -ｙ^{２}}=$ や、

${ｘ^{４}+ｘ^{２}ｙ^{２} +ｙ^{４}}=$ に、

公式： ${ａ^{２} -ｂ^{２}}=（ａ+ｂ）（ａ-ｂ）$ が

隠れていることを見抜けます。

実は、

算数の計算や、

数学の計算に、

全体を見ての印象としての「形」があります。

例えば、

たし算７＋８＝１５や、

ひき算１３－４＝９や、

かけ算２×６＝１２や、

わり算３２÷４＝８は、

いずれも、２つの数を、

１つの数に変えています。

変え方の違いが、

計算の違いです。

２つの数を、

１つの数に変えていると見る見方は、

全体を見ての印象の「形」です。

さて、

この４つの計算は、

答えを浮かべる感覚があります。

２つの数を、

１つの数に結び付ける感覚です。

「しち足すはちは？」と、

口頭で聞いたら、

たし算の感覚を持っている子は、

「じゅうご（１５）」と答えます。

頭の中に、

７＋８＝をイメージしたりしていません。

映像は不要です。

音としての「しち足すはちは？」が、

「じゅうご（１５）」を、

感覚を持っているこの子の頭に浮かべます。

「じゅうさん引くしは？」と聞けば、

「く（９）」と、

「に掛けるろくは？」と聞けば、

「じゅうに（１２）」が、

「さんじゅうに割るしは？」と聞けば、

「はち（８）」が、

感覚を持っている子の頭に浮かびます。

２との数と、

計算の種類を聞いただけで、

１つの数を答えとして、

頭に浮かべます。

「形」とは意識していないでしょうが、

「形」を見ているから、

このようなことができるのでしょう。

（基本 ${\normalsize {α}}$ －３３２）、（＋－ ${\normalsize {α}}$ －２１２）、（分数 ${\normalsize {α}}$ －１１３）

2021-01-10

因数分解の練習を繰り返すと、やがて子どもは、式の「形」を見るようになります。

${ａ^{２} -ｂ^{２}}=（ａ+ｂ）（ａ-ｂ）$ の

因数分解の公式の「形」を、

子どもが見るように育てば、

この公式を利用できます。

${ｘ^{８} -ｙ^{８}}=$ の因数分解を、

まず、

$（{ｘ^{４} +ｙ^{４}}）（{ｘ^{４} -ｙ^{４}}）$ とできるのは、

この公式を使えると、

式 ${ｘ^{８} -ｙ^{８}}=$ の「形」を見たからです。

${４ｘ^{２}ｙ^{２} -ｙ^{２}}=$ の因数分解を、

まず、

${ｙ^{２}（４ｘ^{２} -１）}=$ として、

それから、

${ｙ^{２}（２ｘ+１）（２ｘ-１）}$ とできるのは、

式 ${４ｘ^{２}ｙ^{２} -ｙ^{２}}=$ の「形」を見て、

公式： ${ａ^{２} -ｂ^{２}}=（ａ+ｂ）（ａ-ｂ）$ が

隠れているのを見抜いたからです。

${ｘ^{４}+ｘ^{２}ｙ^{２} +ｙ^{４}}=$ の因数分解を、

まず、

${ｘ^{４}+２ｘ^{２}ｙ^{２} +ｙ^{４}-ｘ^{２}ｙ^{２} }=$ として、

それから、

${（ｘ^{２}+ｙ^{２}）^{２}-ｘ^{２}ｙ^{２} }=$ として、

そして、

$（{ｘ^{２}+ｘｙ+ｙ^{２}}）（{ｘ^{２}-ｘｙ+ｙ^{２}}）$ とできるのは、

式 ${ｘ^{４}+ｘ^{２}ｙ^{２} +ｙ^{４}}=$ の「形」を見て、

公式： ${ａ^{２} -ｂ^{２}}=（ａ+ｂ）（ａ-ｂ）$ が

隠れているのを見抜いたからです。

このように、

式の「形」を見る子になれば、

公式： ${ａ^{２} -ｂ^{２}}=（ａ+ｂ）（ａ-ｂ）$ を

利用することができます。

でも、

因数分解の公式は、

${ａ^{２} -ｂ^{２}}=（ａ+ｂ）（ａ-ｂ）$ だけではありません。

例えば、

${ａ^{２}+２ａｂ+ｂ^{２}}=（ａ+ｂ）^{２}$ や、

${ａ^{３}+ｂ^{３}}=（ａ+ｂ）（ａ^{２}-ａｂ+ｂ^{２}）$ や、

${ａｂｘ^{２}+（ａｄ+ｂｃ）ｘ+ｃｄ}=（ａｘ+ｃ）（ｂｘ+ｄ）$ と、

さまざまな公式があります。

さまざまな公式を利用して、

因数分解の問題を解いていくと、

やがて子どもは、

式の「形」を見るようになります。

これは作業仮説ですが、

子どもが、

式の「形」を見るようになり始めるのは、

公式： ${ａ^{２} -ｂ^{２}}=（ａ+ｂ）（ａ-ｂ）$ が、

キッカケになっているようです。

そして、

子どもが、式の「形」を見始めると、

${〇^{２} -□^{２}}=（〇+□）（〇-□）$ のように、

公式を見ているようです。

言葉にすると、

「平方の差は、和と差の積」です。

（基本 ${\normalsize {α}}$ －３３１）、（分数 ${\normalsize {α}}$ －１１２）