分数の計算を習う前に、
たし算 ７＋８＝１５ や、
ひき算 １３－４＝９ や、
かけ算 ２×６＝１２ や、
わり算 ３２÷４＝８ が、
楽にスラスラとできるようになっています。
この ４ つの計算を基礎として、
子どもは、分数の計算を習います。
さて、
分数の計算は、
たし算・ひき算・かけ算・わり算を
組み合わせるだけです。
だから、
分数の計算で習うのは、
新しい計算ではなくて、
たし算・ひき算・かけ算・わり算の
４ つの計算の組み合わせ方です。
となると、
分数の
全体を見ての印象としての「形」は、
実は、
２ 種類あります。
１ つ目は、見た目の「形」です。
のように、
棒の上と下に
数が書いてある「形」です。
２ つ目の「形」は、
たし算・ひき算・かけ算・わり算の
４ つの計算の組み合わせ方の「形」です。
これは、
目に見えない「形」ですが、
特有の組み合わせ方をしますから、
確かに、
組み合わせ方は、「形」です。
例えば、
＝２
や、
＝
のように、
同じ分数を、
違う書き方をするときの
書き換え方の「形」です。
一方の分数から、
他方の分数に書き換える計算は、
たし算・ひき算・かけ算・わり算の
４ つの計算の組み合わせです。
それぞれ違う組み合わせ方です。
つまり、
組み合わせ方を「形」と見て、
「形」が違います。
仮分数 を、
帯分数 ２ に書き換える計算は、
９÷４＝２・・・１ ですから、
「上÷下」の「形」です。
この逆向きの、
帯分数 ２ を、
仮分数 に書き換える計算は、
４×２＋１＝９ ですから、
「下×横＋上」の「形」です。
「上÷下」と、
「下×横＋上」は、
違う「形」です。
また、
を、
に約分する計算は、
２÷２＝１ と、８÷２＝４ ですから、
「上÷同じ数」、「下÷同じ数」の「形」です。
この逆向きの
を、
に倍分する計算は、
１×２＝２ と、４×２＝８ ですから、
「上×同じ数」、「下×同じ数」の「形」です。
この ４ 種類の分数の書き換え方を並べると、
「上÷下」、
「下×横＋上」、
「上÷同じ数」、「下÷同じ数」、
「上×同じ数」、「下×同じ数」ですから、
すべて、違う「形」です。
なお、
普通の言い方でしたら、
「計算手順」や、
「アルゴリズム」や、
「レシピ」です。
ですが、
たし算・ひき算・かけ算・わり算の
４ つの計算の組み合わせ方に、
計算特有の「形」がありますから、
「形」と見ることもできます。
さて、
分数同士の計算の「形」として、
分数同士のたし算の
計算の組み合わせ方の「形」を見ます。
分数のたし算は、
下を同じ数にして（共通分母）から、
上同士を足す計算です。
例えば、
＋
＝ でしたら、
最初に、２ つの下、
３ と、４ を同じ数にします。
かけ算とわり算で計算します。
大きい下 ４ を、
小さい下 ３ で、割ります。
割り切れません。
大きい下 ４ を、
２ 倍した ８ を、
小さい下 ３ で、割ります。
割り切れません。
大きい下 ４ を、
３ 倍した １２ を、
小さい下 ３ で、割ります。
割り切れます。
この計算から、
下を、１２ にそろえます。
組み合わせ方の「形」を、
意識した書き方にすると、
「（大きい下）÷（小さい下）」、
「（大きい下）×２÷（小さい下）」、
「（大きい下）×３÷（小さい下）」、
・・・
「割り切れたときの割られる数（共通分母）」、
こうなります。
＋
＝ でしたら、
共通分母は、１２ です。
次は、
それぞれの分数を、
共通分母の １２ を下にする倍分です。
まず、
の下を、１２ にします。
１２÷３＝４ ですから、
上の ２ を、４ 倍します。
２×４＝８ です。
これで、
＝
と書き換わります。
それから、
の下を、１２ にします。
１２÷４＝３ ですから、
上の １ を、３ 倍します。
１×３＝３ です。
＝
と書き換わります。
これで、
下が、１２ にそろいます。
＋
＝
＋
＝ です。
組み合わせ方の「形」を、
意識した書き方にすると、
「上×（共通分母÷下）」です。
この後の計算は、
上同士を足します。
＋
＝
＋
＝ でしたら、
です。
組み合わせ方の「形」を、
意識した書き方にすると、
「上＋上」です。
分数同士のたし算の「形」は、
「（大きい下）÷（小さい下）」、
「（大きい下）×２÷（小さい下）」、
「（大きい下）×３÷（小さい下）」、
・・・
「割り切れたときの割られる数（共通分母）」、
「上×（共通分母÷下）」、
「上＋上」のようになります。
（基本 －３３５）、（＋－
－２１５）、
（×÷ －０８１）、（分数
－１１５）